RSS

⅔ Chứng minh bđt AM-GM 3 số từ bđt AM-GM 2 số ™

19 Th6

AM-GM cho 3 số:

Với 3 số thực không âm a,b,c ; khi đó ta có: a^3+b^3+c^3 \ge 3abc
Khi được học về Bdt AM-GM ở lớp 10, thầy giáo có nói có thể chứng minh AM-GM 4 số từ AM-GM 2 số nhưng không thể dùng AM-GM 2 số để CM cho AM-GM 3 số. Vào thời điểm ấy, tôi cứ băn khoăn mãi…và hôm nay bỗng nhớ về chuyện xưa, suy nghĩ một tí xíu thế là….xem tối ngày ấy và bây giờ khác nhau thế nào nhá ^_^

Có khá nhiều cách CM cơ bản cho AM-GM 3 số, chẳng hạn trong bài viết trước của tôi chẳng hạn.

Có 1 cách CM AM-GM 3 số từ AM-GM 2 số rất hay sau đây:

a^3+b^3+c^3+abc \ge 2 \sqrt{a^3b^3}+2\sqrt{abc^4}\ge 4 \sqrt{\sqrt{a^3b^3abc^4}} \ge4abc

<=> a^3+b^3+c^3 \ge 3abc

Sau đây chúng ta hãy cùng xem một cách giải khác có lẽ quá dài và rắc rối,phức tạp hơn, nhưng có thể tạo ra nhiều bdt thú vị khác từ cách CM này.

Giải:

Ta có: a^3+b^3 \ge 2 (\sqrt{ab})^3
Áp dụng cho các số còn lại và cộng 3 bdt lại ta được:

a^3+b^3+c^3 \ge \sqrt{a^3b^3}+\sqrt{b^3c^3}+\sqrt{c^3a^3}

Ta tiếp tục áp dụng bdt mới thu được này:

a^3+b^3+c^3 \ge \sqrt{a^3b^3}+\sqrt{b^3c^3}+\sqrt{c^3a^3}

\ge \sqrt[2^2]{a^6b^3c^3}+\sqrt[2^2]{a^3b^6c^3}+\sqrt[2^2]{a^3b^3c^6}

\ge \sqrt[2^3]{a^6b^9c^9}+\sqrt[2^3]{a^9b^6c^9}+\sqrt[2^3]{a^9b^9c^6}

\ge \sqrt[2^4]{a^{18}b^{15}c^{15}}+\sqrt[2^4]{a^{15}b^{18}b^{15}}+\sqrt[2^4]{a^{15}b^{15}c^{18}}

Bằng quy nạp ta có thể chứng mình rẳng:

Với mọi k là số tự nhiên chẵn, k=2n \; , n \ge 1

a^3+b^3+c^3 \ge \sum_{cyc} \sqrt[2^{2n}]{a^{2^{2n}+2}b^{2^{2n}-1}c^{2^{2n}-1}})

Với mọi số tự nhiên k lẻ, k=2n+1 \; , n \ge 0

a^3+b^3+c^3 \ge \sum_{cyc} \sqrt[2^{2n+1}]{a^{2^{2n+1}-2}b^{2^{2n+1}+1}c^{2^{2n+1}+1}}

Cho n \rightarrow + \infty ta được:

a^3+b^3+c^3 \ge abc+abc+abc=3abc

 
1 bình luận

Posted by trên Tháng Sáu 19, 2012 in Sáng tạo

 

1 responses to “⅔ Chứng minh bđt AM-GM 3 số từ bđt AM-GM 2 số ™”

  1. Dương

    Tháng Sáu 9, 2014 at 10:35 Sáng

    Hay lắm

    Trả lời
     

Bình luận về bài viết này