RSS

↑↓ Step by step ™

07 Th6

Trong một lúc không bình thường….

Với x,y,z dương……

\frac{1}{xyz}=\frac{1}{z}\frac{1}{x+y}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})

 =\frac{1}{x+y+z} (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z})

 =\frac{1}{x+y+z}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z})

 \geq \frac{1}{x+y+z}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\frac{9}{x+y+z+3z}

Bây giờ, giả sử x+y+z=3

BDT <=>  \frac{1}{xyz} \geq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\frac{1}{z+1}=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z(z+1)}

  Hoán đổi vai trò của x,y,z ta cũng thu được các bất đẳng thức còn lại, cộng các bdt này lại , ta được :

\sum_{cyc} \frac{1}{x}\sum_{cyc} \frac{1}{x+1} \leq \sum_{cyc} \frac{1}{x(x+1)}+\frac{3}{xyz}

Vậy, cuối cùng ta thu được bdt khá đẹp sau đây:

Cho x,y,z dương có tổng bằng 3. CM:

\sum_{cyc} \frac{1}{x}\sum_{cyc} \frac{1}{x+1} \leq \sum_{cyc} \frac{1}{x(x+1)}+\frac{3}{xyz}

 
Bình luận về bài viết này

Posted by trên Tháng Sáu 7, 2011 in Sáng tạo

 

Bình luận về bài viết này